PROBLEMA DOS APERTOS DE MÃO

João e Maria estão completando 50 anos de casados. Resolveram dar uma festa para comemorar a data. Convidaram quatro casais. Após a chegada dos casais e dos cumprimentos, apertos de mão, Maria perguntou quantos apertos de mão cada um deu e ouviu todas as respostas possíveis. Quantos apertos de mão Maria deu?

Solução:(PROF GIVA)
Sejam Aa, Bb, Cc, Dd, Ee os cinco casais (homens A, B, C, D, E, e mulheres a, b, c, d, e), e 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 as respostas possíveis.

Escolhendo aleatoriamente um dos participantes da festa, C, (por exemplo). Suponhamos que C não apertou a mão de ninguém, então, só quem pode apertar a mão de 8 pessoas é o seu cônjuge c, ( c só não aperta a mão de C e nem sua própria mão. As outras pessoas, B b, A a, D d, E e, só pode apertar, no máximo, a mão de sete pessoas (elas não apertam: ela mesma, seu cônjuge e C que não aperta ninguém).

Suponhamos que B apertou a mão de uma pessoa (essa pessoa só pode ser: c que apertou todo mundo, exceto ela mesmo, e C) então, só quem pode apertar a mão de 7 pessoas é o seu cônjuge b ( b não aperta a mão de C, B e nem sua própria mão). As outras pessoas, A a, D d, E e, só pode apertar, no máximo, a mão de seis pessoas (elas não apertam: ela mesma, seu cônjuge, B que só apertou a mão de c, e C que não aperta ninguém).

Suponhamos que A apertou a mão de duas pessoas (essas pessoa só pode ser: c que apertou todo mundo, exceto ela mesmo e C, e b que apertou c, A a, D d, E e), então, só quem pode apertar a mão de 6 pessoas é o seu cônjuge a, ( a não aperta a mão de C, B,A e nem sua própria mão). As outras pessoas, D d, E e, só pode apertar, no máximo, a mão de cinco pessoas (elas não apertam: ela mesma, seu cônjuge, B que só apertou a mão de c , A que só apertou c e b, e C que não aperta ninguém).

Suponhamos que D apertou a mão de três pessoas (essas pessoa só pode ser: c que apertou todo mundo, exceto ela mesmo e C, b que apertou c, A a, D d, E e, e a que apertou c, b, D d, E e) , então, só quem pode apertar a mão de 5 pessoas é o seu cônjuge d, (d não aperta a mão de C, B, A, D e nem sua própria mão). As outras pessoas, E e, só pode apertar, no máximo, a mão de quatro pessoas (elas não apertam: ela mesma, seu cônjuge, B que só apertou a mão de c , A que só apertou c e b, D que só aperta c, b, a, e C que não aperta ninguém).

Suponhamos que E apertou a mão de quatro pessoas (essas pessoa só pode ser: c que apertou todo mundo, exceto ela mesmo e C, b que apertou c, A a, D d, E e, a que apertou c, b, D d, E e e d que apertou a mão de c, D d, E e), então, seu cônjuge e, que é quem restou, só pode apertar a mão de quatro pessoas (e não aperta a mão de C, B, A, D e sua própria mão)


Do exposto, podemos observar que as respostas dos participantes da festa foram as seguintes:
C=0, c=8, B=1, b=7, A=2, a=6, D=3, d=5, E=4, e=4

Como Maria tem que ouvir todas as respostas possíveis, a única pessoa que pode ser Maria é e, pois qualquer outra pessoa, exceto seu esposo João (E), não ouvirá todas as respostas possíveis.
Logo, podemos afirmar que Maria deu 4 apertos de mão.